Potenzreihenansatz

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djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihenansatz
Servus,

Ich hab eine Differentialgleichung von der ich zuerst über den Potenzreihenansatz eine Rekursionsformel für a_k herleiten soll. Das hab ich bereits gemacht. Ob richtig oder nicht weiß ich nicht.

Aber jedenfalls soll man dann diese benutzen um die allgemeine Lösung der Diffgleichung bis zum Glied 4.Grades zu bestimmen.

Meine Rekformel sieht so aus:

Ich hab ja iwie keine Werte für a gegeben. Wie muss ich die denn wählen. Denn wenn ich zB mit k=1 anfangen will, berechne ich ja a_3, brauche in der Gleichung aber einen Wert für a_1. Was setze ich dafür ein? Wenn ich eine allgemeine Lösung haben will kann ich ja nicht einfach iwelche Werte wählen oder?

Gruß
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Anfangswerte bzw. werden durch die Anfangsbedingung festgelegt. Wenn keine Anfangsbedingung vorliegt und die Dgl. linear ist, dann sind die Lösungen und somit die beiden Anfangswerte bis auf eine Konstante unbestimmt und somit frei wählbar.
 
 
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Was meinst du mit "bis auf eine Konstante" frei wählbar. Einfach dass ich nicht alle wählen kann wie ich will, sondern nur a0 und a1, und die restlichen mit deren Werten und der Rekformel berechnen muss?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von djguendalf
Meine Rekformel sieht so aus:

Da ist noch was drin hinsichtlich Vereinfachung:



Für welche gilt denn diese Rekursionsformel überhaupt? Wenn sie z.B. für alle gilt, dann wäre für alle das erfreulich einfache Resultat. Big Laugh
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet, dass die Anfangswerte und frei wählbar sind, sofern keine Anfangsbedingung vorliegt und die Dgl. linear ist.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

ja gut, sie gilt nur für k=0 und k>=3. Also brauch ich ein Wert für a_0.
Wenn die Rekformel für k=1 und 2 nicht gilt, was ist dann mit den a_3 und a_4, denn die würde man ja berechnen wenn man k=1 bzw k=2 einsetzen würde?

Vorallem frag ich mich was die ganze Sache eig mit Koeffizientenvergleich zu tun hat..., denn den führt man ja angeblich beim Potenzreihenansatz durch. aber wo?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von djguendalf
Wenn die Rekformel für k=1 und 2 nicht gilt, was ist dann mit den a_3 und a_4, denn die würde man ja berechnen wenn man k=1 bzw k=2 einsetzen würde?

Du musst doch wissen (aus deinen Überlegungen), für welche k die Rekursionsformel gilt, und für welche nicht (bz. nicht notwendig)!

Am besten lässt du mal "die Hosen runter", und nennst uns die zugrunde liegende DGL - vielleicht klärt sich dann die Verwirrung auf.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Gleichung lautet



Es soll die allg. Rekformel aufgestellt werden und dann für den Fall n=2 die Lösung bis einschließlich zum 4. Glied bestimmt werden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erhalte abweichend von deinem Resultat die Rekursion

für alle ,

woraus im Fall dann speziell



wird. Da hat sich wohl bei dir (und zunächst auch bei mir) ein Vorzeichenfehler eingeschlichen...
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Also nach dem einsetzen des Ansatzes sieht das bei mir so aus:



Um das x^(k-2) in der ersten Summe in x^(k) zu ändern, habe ich k-1=k' gesetzt und eingesetzt. Dann hab ich unter der Summe k'=-2. Um auf k' (bzw k)=0 zu kommen habe ich zwei Glieder rausgezogen, die jeweils 0 ergeben.

Stimmt das denn so?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hab ich auch so. Mach mal weiter, irgendwann wird dir beim gründlichen Nachrechnen der Vorzeichenfehler auffallen.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Recht hast du. Beim ausklammern von a_k hab ich einen Vorzeichenfehler gemacht.

Um damit die a zu bestimmen wähle ich nun einen Wert für a_0 und a_1. Und damit berechne ich dann a2,a3 und a4?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Wobei es im Fall auch nicht das Problem sein dürfte, gleich für alle ungeraden zu berechnen. Augenzwinkern
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Haj jetzt einfach mal a_0 = a_1 = 1 gesetzt. Dann werden alle ungeraden k = 0.
1.AVM Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

wie kommst du denn von der Gleichung mit xy´... etc. zu dem Ausdruck mit Summe a_k ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Reihe wird gliedweise differenziert, d.h. aus



wird gemäß Ableitungsregel dann



.

Weiter ist

,

und dann alles einsetzen.
1.AVM Auf diesen Beitrag antworten »

müsste sich da nicht noch der Index verschieben?

http://www.matheboard.de/archive/498116/thread.html

und/oder warum verschiebt der sich überhaupt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 1.AVM
müsste sich da nicht noch der Index verschieben?

Wenn du nach dem Einsetzen den gemeinsamen Koeffizienten zur Potenz ermitteln willst, wird eine Indexverschiebung notwendig sein, ja.

Das dürfte dann auch deine zweite Frage beantwortet haben, d.h., wieso man überhaupt so eine Indexverschiebung macht.
1.AVM Auf diesen Beitrag antworten »

ah, verstehe.

und wenn ich die allg. rekursionsformel für alle a_n aufstellen will, wie gehe ich da vor?

habe zumindest eine gleichung (die ursprüngliche in summenschreibweise), wo ich gleichungen herauskristallisieren kann, um einzelne a_n zu berechnen (z.b. mit a_0 das a2, usw.).
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Auf der einen Seite steht dann eine Potenzreihe, auf der anderen Seite Null. Das klappt nur für alle x, wenn alle Koeffizienten dieser Potenzreihe gleich Null sind - das nennt man dann Koeffizientenvergleich, solltest du eigentlich schon mal gehört haben. Und die Gleichung, die man bei diesem Nullsetzen erhält, wird nach Umstellung zu einer derartigen Iterationsgleichung für die Koeffizienten des Potenzreihenansatzes.
1.AVM Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ja, das habe ich jetzt hinbekommen, also alle einzelnen a_n zu berechnen, z.b. von 0 bis 5 und damit dann eine Potenzreihe zu bilden ...

aber aus dieser Potenzreihe eine allg. Form zu bilden, fällt mir schwer und die braucht man ja für den Konvergenzradius, nicht wahr?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die einzelnen, schön und gut. Aber warum bleibst du nicht erst mal bei der Darstellung für allgemeines ? verwirrt

Schon im anderen Thread scheust du das, windest dich, lenkst ab... Was ist so furchtbar kompliziert daran, dass du das partout nicht machen willst. unglücklich
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