Grenzwert explizit bestimmen

10.11.2013, 21:34

Alfred Gäbeli

Grenzwert explizit bestimmen

Meine Frage:
ich soll den Grenzwert folgender Reihe explizit bestimmen, falls sie konvergiert.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{n-1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich habe leider keine Ideen und keinen Ansatz. Konvergieren tut die Reihe ja, obwohl das erste Glied null ist.
Ich müsste das ja auf irgendwas bekanntes zurückführen, doch sehe nicht was.Al

10.11.2013, 22:44

Grautvornix

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert explizit bestimmen
Forme zunächst etwas um

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{n-1}{2^{n+1}}=\frac 18\sum_{n=0}^\infty (n+1)\left(\frac 12\right)^n. \end{eqnarray*}$

Fasse die entstandene Reihe als Cauchyprodukt auf

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (n+1)\left(\frac 12\right)^n=\left(\sum_{n=0}^\infty\left(\frac 12\right)^n\right)^2 \end{eqnarray*}$

und berechne nun den gesuchten Wert als Quadrat einer geom. Reihe.

Alternativ könntest Du natürlich auch (wolhlbegründet!) gliedweise differenzieren.
Aber der Zugang übers Cauchyprodukt ist wohl elementarer.

11.11.2013, 06:25

Alfred Gäbeli

Auf diesen Beitrag antworten »

So einiges ist noch immer unklar. unglücklich

Beispielsweise die Umformung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{n-1}{2^{n+1}}=\frac 18\sum_{n=0}^\infty (n+1)\left(\frac 12\right)^n. \end{eqnarray*}$

ich frage mich wie hier die (n+1) zustande kommt. verwirrt

wahrscheinlich weil ich die Indexverschiebung nicht richtig verstehe. Dazu hab ich hier gelesen:
http://www.matheboard.de/archive/502901/thread.html und mir den Tipp von Che Netzer zu Herzen genommen.

Zitat:

bei der Indexverschiebung erhöhst du die Grenzen um den gleichen Wert, um den du die Laufvariable verringerst:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{n-1}{2^{n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty -1} \frac{(n+1)-1)}{2^{(n+1)+1}} \end{eqnarray*}$
da ich ja nun die Grenzen verringere muss ich die Laufvariable erhöhen, oder? verwirrt

11.11.2013, 07:54

Grautvornix

Auf diesen Beitrag antworten »

Der erste Summand der Reihe verschwindet ja, wie du selbst eingangs bemerkt hast. Also gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{n-1}{2^{n+1}}=\sum_{n=2}^\infty \frac{n-1}{2^{n+1}}. \end{eqnarray*}$

Und jetzt führt man eine Indexverschiebung à la

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty a_{n-2}=\sum_{n=0}^\infty a_n \end{eqnarray*}$

durch und erhält

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac{n-1}{2^{n+1}}=\sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{2^{n+3}}=\frac 1{2^3}\sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{2^n}=\frac 18\sum_{n=0}^\infty (n+1)\left(\frac 12\right)^n. \end{eqnarray*}$

Und nach der Cauchyschen Produktformel gilt nun für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{n=0}^\infty x^n \right)^2=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n (x^k\cdot x^{n-k})=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n x^n=\sum_{n=0}^\infty x^n \sum_{k=0}^n 1=\sum_{n=0}^\infty x^n(n+1). \end{eqnarray*}$

11.11.2013, 08:24

Alfred Gäbeli

Auf diesen Beitrag antworten »

achsoo. das hab ich jetzt verstanden. die Grenze n=2 hat mich verwirrt. Cauchyproduktformel muss ich mir, glaube ich, nochmal anschauen.

Also gilt nun für den Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{n=0}^\infty x^n \right)^2= (\sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{2})^n)^2=(\frac{1}{1-\frac{1}{2}})^2=4 \end{eqnarray*}$

11.11.2013, 08:26

Grautvornix

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja!

Und das zuvor ausgeklammerte $\begin{eqnarray*} \frac 18 \end{eqnarray*}$ nicht vergessen.

11.11.2013, 09:46

Alfred Gäbeli

Auf diesen Beitrag antworten »

Dankee!!!!! Mit Zunge

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert explizit bestimmen

Verwandte Themen