Faltung der Gamma-Verteilung

28.11.2013, 18:25

Nobundo

Faltung der Gamma-Verteilung

Hallo ich möchte gerne die Faltung von Gammaverteilungen berechnen, genauer gesagt soll ich zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \text{Gamma}_{\alpha,\nu}*\text{Gamma}_{\alpha',\nu}=\text{Gamma}_{\alpha+\alpha',\nu} \end{eqnarray*}$

Dabei haben wir definiert

$\begin{eqnarray*} \text{Gamma}_{\alpha,\nu}(x)=\frac{1}{\Gamma(\nu)}\alpha^{\nu}x^{\nu-1}e^{-\alpha x}\cdot 1_{[0,\infty)}(x) \end{eqnarray*}$

und die Faltung zweier Dichten $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_Y \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} (f_X*f_Y)(z):=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx \end{eqnarray*}$ .

Ich komme jetzt immer nur bis an diese Stelle und weiß nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \left(\text{Gamma}_{\alpha,\nu}*\text{Gamma}_{\alpha',\nu}\right)(z)=\frac{(\alpha\alpha')^{\nu}}{\Gamma(\nu)^2}e^{-\alpha'z}\int\limits_0^zx^{\nu-1}(z-x)^{\nu-1}e^{(\alpha-\alpha')x}dx \end{eqnarray*}$

Den alten Thread zu der Frage habe ich übrigens gefunden, der hilft mir allerdings nicht weiter.

Gruß
Nobundo

28.11.2013, 19:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Nobundo
Den alten Thread zu der Frage habe ich übrigens gefunden, der hilft mir allerdings nicht weiter.

Den alten Thread? Es gibt mehrere dazu hier im Board - von welchem sprichst du?

Zitat:

Original von Nobundo
$\begin{eqnarray*} \text{Gamma}_{\alpha,\nu}(x)=\frac{1}{\Gamma(\nu)}\alpha^{\nu}x^{\nu-1}e^{-\alpha x}\cdot 1_{[0,\infty)}(x) \end{eqnarray*}$

Da liegt offenkundig eine Vertauschung der beiden Parameter vor: Wenn du die Gammaverteilungsdichte so definierst, dann gilt mitnichten

$\begin{eqnarray*} \text{Gamma}_{\alpha,\nu} * \text{Gamma}_{\alpha',\nu}=\text{Gamma}_{\alpha+\alpha',\nu} \end{eqnarray*}$

sondern eher

$\begin{eqnarray*} \text{Gamma}_{\alpha,\nu} * \text{Gamma}_{\alpha,\nu'}=\text{Gamma}_{\alpha,\nu+\nu'} \end{eqnarray*}$ .

28.11.2013, 19:22

Nobundo

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Achso, ich habe nur den hier gefunden
http://www.matheboard.de/archive/45941/thread.html
von dem rede ich also.

28.11.2013, 19:27

HAL 9000

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Lies bitte auch noch meinen EDIT von eben.

28.11.2013, 19:31

Nobundo

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Hab ihn gerade gesehen, danke für den Hinweis. Habe gerade nochmal auf meinem Aufgabenblatt nachgesehen und das scheint ein Fehler in der Aufgabenstellung zu sein. Noch dazu ein sehr ärgerlicher wenn ich dran denke was ich alles versucht hab um das rauszukriegen.

Du meinst also in meiner Definiton müssten die Rollen von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ gerade vertauscht werden?
Das kann gut sein das das Problem damit schon gelöst ist, ich muss mich dann mal wieder ransetzen und neu anfangen mit rechnen Augenzwinkern

28.11.2013, 19:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Nobundo
Du meinst also in meiner Definiton müssten die Rollen von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ gerade vertauscht werden?

Ja dort, oder eben in der zu beweisenden Faltungseigenschaft - das ist rum wie num: Jedenfalls ist es der Exponentialverteilungsparameter (also der im Exponent von $\begin{eqnarray*} e^{\ldots} \end{eqnarray*}$ ), der bei beiden Summanden gleich sein muss.

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