Stetigkeit auf Q

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Stetigkeit auf Q
Aufgabe lautet wie folgt:

"Die Funktion werde definiert durch



Zeigen Sie, dass f auf ganz Q stetig ist."

Idee: Bis jetzt habe ich folgendes...

Z.z.:

BEWEIS:

Fallunterscheidung:

1) Betrachte f(x) fuer alle :



2) Betrachte f(x) fuer alle :



3) Betrachte f(x) fuer :

Es muss also gelten dass :

Aber da:



f(x) ist nicht stetig.

Wo ist mein Denkfehler? smile
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit auf Q
Dir ist schon aufgefallen, dass der Definitionsbereich aus zwei getrennten Bereichen der reellen Zahlen geschnitten mit besteht? gehört nicht zum Definitionsbereich. Was folgt daraus? Vielleicht guckst du dir die Definition von Stetigkeit nochmal an, insbesondere die Rolle des Definitionsbereichs.
Kreis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit auf Q
Ist der Definitionsbereich nicht Q ??? Also die Rationalen Zahlen??? verwirrt
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit auf Q
Klar doch! Guck dir nochmal meine vorigen Beitrag an, ich hatte ihn ergänzt. Überschnitt sich wohl mit deinem letzten.
Kreis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit auf Q
Bedeutet das etwa, dass da 1) und 2) wie oben bewiesen, gilt (also fuer den ganzen Definitionsbereich D = Q).... dass f(x) stetig ist??
Kreis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit auf Q
Hab ich den wenigstens irgendetwas richtig gemacht? Oder ist das alles nonsense was ich geschrieben habe? traurig
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit auf Q
Deine "Beweisführung" fand ich etwas wirr, deswegen will ich sie auch nicht erörtern. Nur das: ist der x-Wert, an dem du Stetigkeit beweisen sollst. Es geht also darum zu zeigen, dass es für jedes ein gibt, sodass gilt, mit beliebig kleinem . soll dabei eine -Umgebung von sein.
Kreis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit auf Q
Zitat:
Deine "Beweisführung" fand ich etwas wirr, deswegen will ich sie auch nicht erörtern.


Also die Fallunterscheidung findest du zu ungeordnet.. mmm

Zitat:
Nur das: ist der x-Wert, an dem du Stetigkeit beweisen sollst. Es geht also darum zu zeigen, dass es für jedes ein gibt, sodass gilt, mit beliebig kleinem . soll dabei eine -Umgebung von sein.


Was man zeigen muss ist mir klar. Big Laugh .... Jetzt weiß ich nur nicht wie,...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit auf Q
Wenn du eine -Umgebung von einem betrachtest, wie groß kannst du denn wählen, wenn dein beispielsweise ist? Bei fangen doch offenbar die Probleme mit der Wahl eines passenden an. Für hat man offensichtlich kein Problem, da ist nämlich beliebig wählbar.
Kreis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit auf Q
Tud mir echt Leid aber ich weiß nicht weiter... bin jetzt gerade total verwirrt.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit auf Q
Dann mal beispielhaft für und a) sowie b) .

a) : Jetzt kann beliebig gewählt werden, da

b) : Beispielsweise für gibt es x, sodass . Also ist offenbar eine schlechte Wahl. Wählt man aber , dann gilt , da .

Übertrage dies jetzt auf beliebig kleine und beliebige . Zeige, dass es für jedes ein gibt, sodass für alle .
Kreis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit auf Q
Mmm Ich überlege gerade dass für allle gilt da ja nur 2 Werte einnehmen kann: entweder 1 oder 0.... das heißt, dass wenn ich mir ein nehme, das ganz nah bei ist und mir dann eine ganz kleine Umgebung anschaue, kann es doch passieren, dass Das heißt für ein ganz kleines würde nicht stimmen... Oh je, es tut mir echt Leid aber ich erkenne einfach nicht warum diese Funktion stetig sein soll. Die Heavisidsche Sprunfunktion zum Beispiel oder die Signumfunktion sind doch auch unstetig.. unglücklich
Kreis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit auf Q
Bild.
Kreis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit auf Q
So viel zur Suchfunktion http://www.matheboard.de/archive/441205/thread.html Hammer
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit auf Q
Zitat:
Original von Kreis
Mmm Ich überlege gerade dass für allle gilt da ja nur 2 Werte einnehmen kann: entweder 1 oder 0.... das heißt, dass wenn ich mir ein nehme, das ganz nah bei ist und mir dann eine ganz kleine Umgebung anschaue, kann es doch passieren, dass Das heißt für ein ganz kleines würde nicht stimmen... Oh je, es tut mir echt Leid aber ich erkenne einfach nicht warum diese Funktion stetig sein soll. Die Heavisidsche Sprunfunktion zum Beispiel oder die Signumfunktion sind doch auch unstetig.. unglücklich


Du scheinst da etwas grundsätzlich falsch zu verstehen. Und du scheinst dir mein Beispiel nicht richtig durchgelesen zu haben unglücklich

Wenn du "ganz nahe bei " dein annimmst, dann wirst du trotzdem IMMER eine -Umgebung -Umgebung von finden, deren ist. Dann gilt für alle , egal wie klein das .

Außerdem: Überleg dir mal, wo die Heaviside-Funktion unstetig ist und warum sie es dort ist. Es sollte dir aufgefallen sein, dass deine Funktion an der Stelle nicht definiert ist und das ist der Grund, warum sie dort auch nicht unstetig ist. Im Gegensatz dazu ist die Heaviside-Funktion an der Sprungstelle definiert und dort natürlich unstetig (an allen anderen Punkten ist sie stetig!).
Kreis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit auf Q
Zitat:
Du scheinst da etwas grundsätzlich falsch zu verstehen. Und du scheinst dir mein Beispiel nicht richtig durchgelesen zu haben unglücklich


@RavenOnJ

Ja, da hast du recht. Big Laugh

Mein grundlegender Denkfehler war dass ich mir nicht darüber im klarem war dass man zwar eine Zahl p/q {p,q element Z ohne 0} bilden kann die belibig nah dran an die Wurzel zwei kommt, aber man diese niemals erreichen wird... xD Das bedeutet dass man immer unendlich viele Zahlen finden kann die sozusagen zwischen meinem festem aber beliebigem x0 liegen und der Wurzel aus 2..

Dein Beispiel habe ich mir nochmal durchgelesen und macht nun auch sinn für mich. Im Fall a) hast du Epsilon= 2 gewählt da ich dann mein Delta so wählen kann wie ich gerade Lust habe und bei der b) hast du Epsilon= 1/2 (hätte auch 0.999999999 oder 0.126385485146541 sein könn) da man dann ein Problem bekommt wenn man ein Delta wählen möcht, das auch für ein x_0 in der Nähe von Wurzel 2 gilt.

Ich werde versuchen das jetzt mal ordentlich aufzuschreiben und möchte mich sehr bedanken. Big Laugh
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