Ist die kleinsche Gruppe ein Normalteiler der alternierenden Gruppe A4?

Neue Frage »

pi31415 Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die kleinsche Gruppe ein Normalteiler der alternierenden Gruppe A4?
Meine Frage:
Wie lässt sich zeigen, dass die Kleinsche Gruppe V4 ein Normalteiler von A4 ist bzw. dass jede 2 elementige UG von V4 ein Normalteiler von V4 ist?

Meine Ideen:
Untergruppenkriterium
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt nur eine V4 in der A4, also sind alle zur V4 konjugierten Untergruppen gleich der V4. Das ist das Kriterium für einen Normalteiler ().
Die V4=Z2xZ2 ist abelsch. Abelsche Gruppen haben nur Normalteiler als Untergruppen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

.
pi31415 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lässt sich zeigen, dass UG von abelschen Gruppen Normalteiler sind?
Und warum folgt daraus, dass ist die Eigenschaft Normalteiler zu sein nicht transitiv ist?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. Für alle in G abelsch gilt , also auch für alle Untergruppen U von G abelsch

2. Untergruppen von Untergruppen in abelschen Gruppen sind Normalteiler von Normalteilern. Kann da irgendetwas abelsches nichtabelsch werden ? (Hier ist ein Beispiel: https://www.matheboard.de/archive/537344/thread.html)
pi31415 Auf diesen Beitrag antworten »

Bezieht sich 2. auf die zweite Frage? bzw. was heißt transitiv hier bei der Frage?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, 2. bezieht sich auf die 2.Frage. Abelsche Gruppen haben nur Normalteiler als Untergruppen, auch die Faktorgruppen sind abelsch, daher weiß ich nicht, wie man in abelschen Gruppen nachweisen könnte, dass die Eigenschaft Normalteiler zu sein, nicht transitiv ist, denn das würde doch bedeuten, dass irgendeine Untergruppe nicht Normalteiler ist.

Das Beispiel, wo die Normalteiler-Eigenschaft nicht transitiv ist, bezieht sich ja auch auf eine nichtabelsche Gruppe.

Insgesamt behaupte ich, dass aus der Tatsache, dass in einer abelschen Gruppe jede Untergruppe Normalteiler ist, nicht folgt, dass die Normalteiler-Eigenschaft nicht transitiv ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Als weiteres Beispiel ist mir noch eingefallen, dass V4 ein Normalteiler der A4 und die 3 Z2 Normalteiler der V4 sind, aber die 8 Elemente (ausser der Identität) der 4 Z3 Untergruppen der A4 konjugieren alle Z2, diese sind also keine Normalteiler der A4. Das heißt, dass die Normalteilereigenschaft nicht transitiv ist.

Zum Thema Beweis der Nichttransitivitaet als Folgerung aus Eigenschaften abelscher Gruppen gebe ich folgendes zu bedenken. Wenn man eine Herde mit weißen Schafen sieht kann man daraus nicht schließen, dass es keine schwarzen Schafe gibt. Wenn man ein schwarzes Schaf sieht, kann man daraus schließen, dass es schwarze Schafe gibt.
pi31415 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die aufschlussreichen Antworten!
D.h. die Eigenschaft ein Normalteiler zu sein kann transitiv sein als Beispiel in abelschen Gruppen, muss aber nicht, anhand des zuletzt genannten Beispiels
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so ist es, und wenn etwas nicht immer gilt, dann gilt es nicht notwendig, sagt der Philosoph, und es gilt nicht, sagt der Mathematiker.
pi31415 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sind die 3-er Zykel der A4 keine Normalteiler von A4?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Weil sie konjugiert sind.
Zum Beispiel konjugiert ein Doppelzykel aus einer Z2 in der V4 eine Z3 (und für alle anderen Beispiele genau so)


Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »